הוכחה שכל המשולשים בעולם הם שווי שוקיים

[הפרבולה1]

נתון משולש ABC כלשהוא
מהקודקוד A נוריד חוצה זוית , ומהצלע מול BC נעלה אנך אמצעי מהנקודה E.
חוצה הזוית והאנך האמצעי נחתכים בנקודה D
מהנקודה D נוריד אנכים לצלעות AB AC בנקודות F G בהתאמה.

המשולשים AFD ADG חופפים לכן AF=AG וגם FD=DG
המשולשים BDE DEC חופפים לכן BD =DC
מזה נובע שגם המשולשים FDB GDC חופפים ( FD=DG , BD =DC וזויות ישרה ) לכן FB=GC
לכן
AF+FB = AG +GC
כלומר
AB=AC
=> ABC משולש שווה שוקיים! כל המשולשים בעולם הם שווי שוקיים

 

[nothing but the truth]

נתון משולש ABC כלשהוא
מהקודקוד A נוריד חוצה זוית , ומהצלע מול BC נעלה אנך אמצעי מהנקודה E.
חוצה הזוית והאנך האמצעי נחתכים בנקודה D
מהנקודה D נוריד אנכים לצלעות AB AC בנקודות F G בהתאמה.

המשולשים AFD ADG חופפים לכן AF=AG וגם FD=DG
המשולשים BDE DEC חופפים לכן BD =DC
מזה נובע שגם המשולשים FDB GDC חופפים ( FD=DG , BD =DC וזויות ישרה ) לכן FB=GC
לכן
AF+FB = AG +GC
כלומר
AB=AC
=> ABC משולש שווה שוקיים! כל המשולשים בעולם הם שווי שוקיים
צפה בקובץ המצורף 80217

לא הבנתי מדוע בהכרח חוצה הזוית יפגוש את האנך האמצעי בנקודה D, מי אמר שהם חייבים להחתך בתוך המשולש?

 

[עריסטו]

לא הבנתי מדוע בהכרח חוצה הזוית יפגוש את האנך האמצעי בנקודה D, מי אמר שהם חייבים להחתך בתוך המשולש?

זה עובד גם אם הם נחתכים מחוץ למשולש (תלוי איפה )

 

[nothing but the truth]

זה עובד גם אם הם נחתכים מחוץ למשולש (תלוי איפה )

אם הם נחתכים מחוץ למשולש, אז לפחות אנך אחד לדעתי יהיה על המשך של צלע, ולכן ההוכחה לא תעבוד.

 

[הפרבולה1]

אם הם נחתכים מחוץ למשולש, אז לפחות אנך אחד לדעתי יהיה על המשך של צלע, ולכן ההוכחה לא תעבוד.

אם הם נחתכים בנקודה D מחוץ למשולש אז גם "ההוכחה" תעבוד, נקבל :
AF - FB = AG - GC => AB=AC

 

[nothing but the truth]

אם הם נחתכים בנקודה D מחוץ למשולש אז גם "ההוכחה" תעבוד, נקבל :
AF - FB = AG - GC => AB=AC
צפה בקובץ המצורף 80233

לא הבנתי מדוע המשוואה נכונה (לפני הגרירה). מי אמר ש FB=CG?

עכשיו הם כבר לא חלק ממשולש

 

[הפרבולה1]

לא הבנתי מדוע המשוואה נכונה (לפני הגרירה). מי אמר ש FB=CG?

עכשיו הם כבר לא חלק ממשולש

המשולשים ABD ADC חופפים => BD=DC
המשולשים AFD AGD חופפים => FD=DG
לכן גם המשולשים DBF DCG חופפים ( BD=DC FD=DG וזוית ישרה) => FB=CG

 

[nothing but the truth]

המשולשים ABD ADC חופפים => BD=DC

לפי איזה משפט הם חופפים?
ובהמשך גם בציור הראשון על סמך איזה משפט חפפת את BDE עם EDC ? הצלע היא לא מול הזוית הגדולה

 

[Permafrost]

לא הסתמכתי על ציור והתגובה שלך בכלל לא קשורה (לא מדובר כאן במפגש חוצי זוית).

הייתי באמצע כתיבה, ומהרגלי כתיבה ברשתות החברתיות לחצתי Enter+Ctrl כדי לעבור לשורה חדשה, אלא שכאן אצלנו זה גרם ל- submit...בינתיים נמלכתי בדעתי ורציתי למחוק הכל, אלא שכבר הגבת.
זריז אתה להפליא...

 

[הפרבולה1]

לפי איזה משפט הם חופפים?

סליחה טעיתי לגבי הציור השני - המשולשים BDE EDC הם חופפים ( BE=CE כי ED אנך אמצעי , ED צלע משותפת והזויות של E ישרות) ולכן BD=DC

ובהמשך גם בציור הראשון על סמך איזה משפט חפפת את BDE עם EDC ? הצלע היא לא מול הזוית הגדולה

אותו נימוק :
BE=CE כי ED אנך אמצעי
DE צלע משותפת
הזויות DEC=DEB=90

 

[nothing but the truth]

סליחה טעיתי לגבי הציור השני - המשולשים BDE EDC הם חופפים ( BE=CE כי ED אנך אמצעי , ED צלע משותפת והזויות של E ישרות) ולכן BD=DC


אותו נימוק :
BE=CE כי ED אנך אמצעי
DE צלע משותפת
הזויות DEC=DEB=90

אם המשולש שווה שוקיים קל להראות שהזוית AED (בשרטוט הראשון למשל) היא 180 מעלות.
זאת אומרת שאי אפשר שחוצה הזוית יחצה את האנך האמצעי , אלא אם הם ישר אחד .

 

[הפרבולה1]

אם המשולש שווה שוקיים קל להראות שהזוית AED (בשרטוט הראשון למשל) היא 180 מעלות.
זאת אומרת שאי אפשר שחוצה הזוית יחצה את האנך האמצעי , אלא אם הם ישר אחד .

או קי , אבל במשולש שהוא לכאורה לא שווה שוקיים עדין החוצה זוית חותך את האנך האמצעי בנקודה אחת D , ואפשר להראות ש D חייב להיות מחוץ למשולש כמו בציור השני , ועדין לפי חפיפת משולשים יוצא AF=AG FB=GC ולפי הציור השני נובע ש
AF - FB = AG - GC => AB=AC

איך מישבים את הפרדוקס ?

 

[nothing but the truth]

או קי , אבל במשולש שהוא לכאורה לא שווה שוקיים עדין החוצה זוית חותך את האנך האמצעי בנקודה אחת D , ואפשר להראות ש D חייב להיות מחוץ למשולש כמו בציור השני , ועדין לפי חפיפת משולשים יוצא AF=AG FB=GC ולפי הציור השני נובע ש
AF - FB = AG - GC => AB=AC

איך מישבים את הפרדוקס ?

זה לא משולש הוא לא שווה שוקיים, אלא משולש כלשהו שאתה משרטט דברים ועל סמך השרטוט מניח.
אם אפשר להראות ש D חייב להיות מחוץ למשולש, עליך במהלך ההוכחה להוכיח ש D חייב להיות מחוץ למשולש, ושהאנכים הם בהכרח שניהם על המשכי הצלעות, ולא מצב שאחד יהיה על צלע והשני על המשך הצלע (לדעתי זה מה שיקרה).
לא נכון לשרטט כאילו זה חייב להתקבל כך ואז להסתמך על זה.

 

[הפרבולה1]

אם אפשר להראות ש D חייב להיות מחוץ למשולש, עליך במהלך ההוכחה להוכיח ש D חייב להיות מחוץ למשולש, ושהאנכים הם בהכרח שניהם על המשכי הצלעות, ולא מצב שאחד יהיה על צלע והשני על המשך הצלע (לדעתי זה מה שיקרה).

נכון, זה מה שיקרה!
מכיוון שלא יתכן שכל המשולשים הם שווי שוקיים , אז במשולש שאינו שווה שוקיים הנקודה F תהיה בתוך הצלע AB והנקודה G תהיה מחוץ לצלע AC.

עדין מתקיים ש AF = AG BF=CG ומזה נובע ש AF+BF = AG + GC ו AF+BF =AB , אבל AC+CG אינו שווה לשוק AC כי AC = AG - CG
זה הציור הנכון:

 

[1_JFK_1]

אם המשולש שווה שוקיים קל להראות שהזוית AED (בשרטוט הראשון למשל) היא 180 מעלות.
זאת אומרת שאי אפשר שחוצה הזוית יחצה את האנך האמצעי , אלא אם הם ישר אחד .

נכון מאוד.

 

[הפרבולה1]

זאת אומרת שאי אפשר שחוצה הזוית יחצה את האנך האמצעי , אלא אם הם ישר אחד .

נכון מאוד.

זה דוקא לא נכון , חוצה הזוית תמיד יחתוך את האנך האמצעי או שיתלכד איתו. לא יתכן שחוצה הזוית והאנך האמצעי מולו יהיו מקבילים.

 

[nothing but the truth]

זה דוקא לא נכון , חוצה הזוית תמיד יחתוך את האנך האמצעי או שיתלכד איתו. לא יתכן שחוצה הזוית והאנך האמצעי מולו יהיו מקבילים.

בתוך המשולש הוא לא יכול לחצות אותו, אלא רק להתלכד. ולגבי מחוץ למשולש, כדי להמשיך את ההוכחה שלך תצטרך קודם להוכיח ששני האנכים שהורדת (DF ו DG) שניהם על המשך הצלעות.

 

[1_JFK_1]

זה דוקא לא נכון , חוצה הזוית תמיד יחתוך את האנך האמצעי או שיתלכד איתו. לא יתכן שחוצה הזוית והאנך האמצעי מולו יהיו מקבילים.

זה לא מה שכתבתי. כאשר חוצה הזווית הוא גם האנך לצלע שמולו - [משמע , הם מתלכדים] אזי המשולש הוא שווה שוקיים.
כל מצב אחר , המשולש אינו שווה שוקיים.

 

[הפרבולה1]

זה לא מה שכתבתי. כאשר חוצה הזווית הוא גם האנך לצלע שמולו - [משמע , הם מתלכדים] אזי המשולש הוא שווה שוקיים.
כל מצב אחר , המשולש אינו שווה שוקיים.

אוקי , אבל לדעתי זה עדין לא מסביר את הפרדוקס.
מה שמסביר את הפרדוקס הוא שבמשולש שאינו שווה שוקיים הנקודות F G חייבות להיות אחת מהם בתוך הצלע הראשונה , והנקודה השניה בהמשך הצלע השניה. לא יתכן ששניהם יהיו בתוך או שניהם בהמשך הצלעות.

 

[1_JFK_1]

אוקי , אבל לדעתי זה עדין לא מסביר את הפרדוקס.
מה שמסביר את הפרדוקס הוא שבמשולש שאינו שווה שוקיים הנקודות F G חייבות להיות אחת מהם בתוך הצלע והראשונה , והנקודה השניה בהמשך הצלע השניה. לא יתכן ששניהם יהיו בתוך או שניהם בהמשך הצלעות.

במשולש שבו חוצה הזווית [A] נפגש בנקודה [D] שממנה האנכים לצלעות המתאימות [DF ו DG] שווים כלומר DF=DG, נבחר את D כמיפגש של חוצי הזווית. כלומר CD ו BD הם חוצי זווית של C ו B בהתאמה. בנוסף גם האנך DE=DG=DF - זה כבונוס......
[לפי המשפט חוצי זווית במשולש נפגשים בנקודה אחת [D], ואנכים מנקודת המיפגש לצלעות המתאימות , שווים בגודלם].
מאחר וזוית B שונה מזווית C [אלא אם המשולש הוא באמת שווה שוקיים], גם מחצית זוית C שונה ממחצית זוית B. ולכן המשולשים BFD ו CGD אינם חופפים.
ולכן BF אינו שווה ל GC.
ואז.....AB גםאינו שווה ל AC. והמשולש אינו שווה שוקיים.
זה מקרה פרטי שמעיד על הכלל.

נ.ב זה הרבה יותר מעניין מאשר להתדיין אם ניתן לעשות שלום עם אבו מאזן או שלא ניתן....