עזרה בשאלות בהסתברות

[Any991]

עזרה בשאלות בהסתברות

מספר שאלות לעזרה בתרגילי בית (לקוח מספר כלשהו של חידות מתמטיות):
1. התאומים אינומרטוס ומתופילה היו משועממים. "אני יודעת," אמרה מתופליה בחדווה. "בואו נשחק בקוביות!".
"אני לא אוהב קוביות."
"לא, אלה קוביות מיוחדות," אמרה מתופליה והוציאה אותן מקופסת ממתקים ישנה. אחת מהן היתה אדומה, אחת צהובה ואחת כחולה.
אינומרטוס הביט בקוביה האדומה. "משהו לא בסדר עם הקוביה הזאת," אמר. "יש עליה שני 3, שני 4 ושני 8."
"כולן כאלה," אמרה מתופליה בזלזול. "על הצהובה יש שני 1, שני 5 ושני 9 - ועל הכחולה יש שני 2, שני 6 ושני 7."
"הן נראות לי מזויפות לגמרי. אמר אינומרטוס בחשדנות.
" לא, הן תקינות לגמרי. לכל פאה יש סיכוי שווה להיות למעלה."
"איך בכלל משחקים בהן?"
"כל אחד מאיתנו בוחר קוביה. אנחנו מטילים אותן בבת אחת, והמספר הכי גבוה זוכה. אנחנו משחקים על דמי הכיס שלנו."
אינומרטוס לא נראה משוכנע, ואחותו הוסיפה בזריזות:"רק כדי שלא תחשוד, אני אתן לך לבחור הראשון כדי שתוכל לבחור את הקוביה הכי טובה!".
"טובבב..." אמר אינומרטוס בהיסוס.
האם כדאי לו לשחק? ואם לא, למה?

2. "אני רואה שיש לך חתול," אמרה גברת ג'ונס לגברת סמית. "כמה שהזנב הלבן החמוד שלו מוצא חן בעיני! כמה חתולים יש לך?", "לא הרבה," אמרה גברת סמית. "לגברת בראון, השכנה שלי, יש עשרים, וזה הרבה יותר ממה שיש לי." "עדיין לא אמרת לי כמה חתולים יש לך!"
"טוב...בואי נגיד ככה. אם תבחרי באקראי שניים מהחתולים שלי, ההסתברות שלשניהם יהיו זנבות לבנים היא בדיוק חצי."
"זה לא מלמד אותי כמה יש לך!", "דווקא כן, בהחלט." -------->כמה חתולים יש לגברת סמית ולכמה מהם זנבות לבנים?

 

[סוס כסוף]

השאלה השנייה

נניח שיש X חתולים עם זנב לבן ו N חתולים בסך הכל. אזי ההסתברות לבחור 2 עם זנב לבן היא

P = (X choose 2) / (n choose 2) = [x(x-1)/2] / [n(n-1)/2] = x(x-1) / [n(n-1)

אם הסיכוי הזה שווה לחצי מתקבלת משוואה

n(n-1) = 2x(x-1)

n² - n -[2x(x-1)] = 0

עכשיו מנסים X ים גדלים והולכים מתוך הנחה שכולם מספרים שלמים וש N קטן מ 20.

מתקבל ש X=3, N=4.

 

[סוס כסוף]

השאלה הראדונה

על הקוביות רשומים המספרים הבאים (כל אחד על 2 פאות, כך שהסיכוי של כל אחד הוא 1/3):

א. 8, 4, 3
ב. 9, 5, 1
ג. 7, 6, 2

נניח שהאח בוחר קוביה כלשהי. האחות תוכל תמיד לבחור קוביה אחרת, שבה אפשרויות הזכייה הן גבוהות מאלה של האח. למשל אם האח בחר קוביה א', האחות תבחר קוביה ב' ואז יש לה סיכוי של 2/3 לגבור על האח (אם הוא יקבל 4 או 3 והיא תקבל 9 או 5) ורק סיכוי של 1/3 להפסיד (אם האח יקבל 8 והאחות תקבל 5 או 1).

באופן דומה, אם האח בוחר קוביה ב' אז האחות תבחר את קוביה ג'; ואם האח יבחר את קוביה ג' אז האחות תבחר את קוביה א'.

מכיוון שהאחות שומרת לעצמה את הזכות לבחור את הקוביה שלהנ אחרי שראתה מה בחר האח, תמיד יהיו לה מסיכויי זכייה של 2/3 לעומת סיכוי של 1/3 להפסיד.

מסקנה: לא כדאי לאח לשחק.

 

[Any991]

תודה על המענה

 

[i_ofer]

סיכוי של 5/9 לעומת 4/9

 

[i_ofer]

סיכוי של 5/9 לעומת 4/9

השאלה הראדונה

על הקוביות רשומים המספרים הבאים (כל אחד על 2 פאות, כך שהסיכוי של כל אחד הוא 1/3):

א. 8, 4, 3
ב. 9, 5, 1
ג. 7, 6, 2

נניח שהאח בוחר קוביה כלשהי. האחות תוכל תמיד לבחור קוביה אחרת, שבה אפשרויות הזכייה הן גבוהות מאלה של האח. למשל אם האח בחר קוביה א', האחות תבחר קוביה ב' ואז יש לה סיכוי של 2/3 לגבור על האח (אם הוא יקבל 4 או 3 והיא תקבל 9 או 5) ורק סיכוי של 1/3 להפסיד (אם האח יקבל 8 והאחות תקבל 5 או 1).

באופן דומה, אם האח בוחר קוביה ב' אז האחות תבחר את קוביה ג'; ואם האח יבחר את קוביה ג' אז האחות תבחר את קוביה א'.

מכיוון שהאחות שומרת לעצמה את הזכות לבחור את הקוביה שלהנ אחרי שראתה מה בחר האח, תמיד יהיו לה מסיכויי זכייה של 2/3 לעומת סיכוי של 1/3 להפסיד.

מסקנה: לא כדאי לאח לשחק.

סיכוי של 5/9 לעומת 4/9