שאלה

braker

New member
שאלה

אם יש מסלול של 10 מטר ואני מתקדם כל שתי שניות במחצית הדרך שנותרה לי, אני אגיע אי פעם לסוף?
 

Halfbaked

New member
לא!

(בהנחה שב"אי פעם" כוונתך לכל זמן עתידי שאינו מרוחק "אינסוף שניות" מהזמן הנוכחי.) טיעון זה מזכיר לי את "דיאטת השוקולד", המאפשרת לך לאכול שוקולד כל יום, מבלי לגמור אפילו חפיסה אחת. לפי השיטה, עליך לפתוח חפיסת שוקולד שלמה, ובכל יום לאכול מחצית ממה שנותר. וקיים אף שיפור קל - אם תאכל בכל יום רק שליש מהשוקולד שנותר, תגלה שאף פעם לא תגמור אפילו מחצית מהחפיסה המקורית. יחי השוקולד. יובל.
 
עוד זווית

יובל...אומרים שגם במונח.."אין סוף.." יש ספק אם בכלל אין סוף... נוטה להניח שגם לאותה דיאטת שוקולד..., בייחוד שזהו חומר מוגמר..הניתן למדידה מדוייקת...ולחלוקה...עדיין נגיע לסוף..הכל מותנה בזמן, כמה שייקח והרי זו הדיאטה המשובחת..את אותה כמות שוקולד...לפרוס על פני זמן ארוךךךךךךךך.... ולא לסיים השוקולד תוך פרק זמן קצר, למרות חלוקתו ..ולקחת שוב ולהגדיר כמות חדשה של שוקולד ולהתחיל מחדש... עושה רושם ש"מרזי מורית" לא ידגלו בשיטה...יצמצם להם מכירות...
 
מה לא הבנתי?

לגבי השיפור שכתבת: ("...וקיים אף שיפור קל - אם תאכל בכל יום רק שליש מהשוקולד שנותר, תגלה שאף פעם לא תגמור אפילו מחצית מהחפיסה המקורית. יחי השוקולד. יובל.) לא הבנתי. אני מחלק את חפיסת השוקולד המקורית ל- 9 חלקים שוים. אוכל שליש ביום הראשון - כלומר 3 חלקים. נשארו 6 חלקים. ביום השני אוכל שליש מהנותר - כלומר 2 חלקים. אז אכלתי ביומיים 5 חלקים מתוך 9 (יותר ממחצית החפיסה המקורית). מה לא הבנתי?
 

Halfbaked

New member
לא הבנת שגם מנהלי פורום טועים!

ואכן, גם בשיטת השליש נמצאת כל חפיסת השוקולד בסכנה. גם אם תאכלו כל יום רבע ממה שנשאר, תגמר החבילה לאחר "אינסוף" ימים. וגם אם חמישית, שישית, וכולי. על מנת להוכיח זאת (ולהיות בטוח שאיני טועה הפעם), אתייחס למקרה הכללי לפיו כל יום אני אוכל "1 חלקי n" ממה שנותר, כאשר n הוא מספר טבעי גדול מ-1. ביום הראשון אני אוכל "1 חלקי n" מהחפיסה. ביום השני אני אוכל "(1 חלקי n) כפול (n-1 חלקי n)" ביום השלישי אני אוכל "(1 חלקי n) כפול (n-1 חלקי n) כפול (n-1 חלקי n)" וכן הלאה. זהו טור הנדסי שמנתו n-1 חלקי n, והוא מתכנס ע"פ הנוסחה לחישוב סכום טורים הנדסיים ל- "(1 חלקי n) חלקי (1 פחות (n-1 חלקי n))" כלומר, ל-1. אז הנה, תיקנתי את עצמי, והנה שאלה מעניינת: מה יקרה אם ביום הראשון אוכל חצי מהחפיסה, ביום השני אוכל שליש ממה שנותר, ביום השלישי אוכל רבע ממה שנותר, וכך הלאה? האם החבילה כולה תיגמר לאחר "אינסוף" ימים, או שמא ישאר משהו? יובל.
 

s0uljacker

New member
הדרך שנותרה

נקרא לה "יחידת דרך" או בקיצור 1 1:2 לא יכול להתיר 0 לעולם באותה מידה אפשר להסתכל על זה כעל סדרה הנדסית מתכנסת ע"ע סיפור הרכבות
 

swirrrly

New member
אני מניחה ש

כשתגיע לסוף זאת אומרת שהמרחק לסוף יהיה 0. אבל הרי 0 זה חצי מ-0. אז............ לא?
 

ויקי16

New member
לדעתי לא,

כי תמיד יוותר לך עוד חלק, שחצי ממנו תתקדם... כמובן שככל שיעבור הזמן, ישאר לך פחות להתקדם אבל לעולם לא תגיע לסוף. (כמובן, אם נדייק) לא יודעת עד כמה זה נכון...אם אני אומרת את זה סביר להניח שזה לא נכון...
 

Blade2

New member
זה תלוי

אם אתה מתכוון להתייחס לזה מתמטית, כלומר שכל שתי שניות אתה קופץ קדימה חצי מהדרך שנותרה לך, אז אתה לעולם לא תגיע. זוהי סדרה הנדסית מתכנסת ל 0. זה בדיוק כמו הפרדוקס של זנון, (אכילס עושה תחרות ריצה נגד צב, לצב נותנים פור של 10 מטר וכשהצב מתקדם מטר אכילס מתקדם 10 מטר וכך לכאורה אכילם לעולם לא ישיג את הצב, הוא התקדם 10 מטר, הצב עשה עוד מטר, כדי להשיג אותו צריך לעשות עוד מטר, אכילס רץ מטר, הצב עבר 10 ס"מ, אכילס עובד את ה 10 ס"מ הצב עבר 1 ס"מ וכו´ וכו´.)
 

Blade2

New member
למה לא?

דיברתי על המרחק עד הסוף, והוא הולך ושואף ל 0.
 

Blade2

New member
*תיקון*

התכוונתי לומר שדיברתי על המרחק שעוברים כל פעם ולא על המרחק עד הסוף
 

s0uljacker

New member
יחי ההבדל הקטן....

המושג מתכנסת הוא ביחס לסכום הסדרה כל איבר בפני עצמו מאפייו סתם סדרה הנדסית
 

ayly

New member
חצי של חצי

פשוט להסביר עם חידת הצפרדע שקפצה לאגם ועם כל קפיצה היא עוברת מחצית מהדרך שנותרה לה היא לא תגיע לסוף ע"פ עולם השברים האין סופי בו בין שני שברים תיד ימצא שבר נוסף שלתחום שני שברים בקיצצ חצי של חצי הוא...וכן הלאה
 
למעלה