האם יש אפשרות לחשב היקף מעגל בלי פאי ובמדיוק?

[מני אה]

את זה כבר ראיתי פעם בלא מדויק גדי אלכסנדרוביץ

ואמנם יש לו שם שיטות משכנעות למה 0.9999 שווה ל 1 או משהו כזה אבל בסופו של דבר, אם הם היו זהים בהכל (אולי רק בכמות) אז הם היו אותו אחד (תרתי משמע)

 

[הפרבולה]

0.9999 לא שווה ל 1

יש בניהם הפרש של 0.0001

אבל המספר הבא ( אחרי הנקודה יש אינסוף פעמים הספרה 9 )

0.9999.............

הוא כן שווה בדיוק ל 1

 

[ןן גיל ןן]

אם בשבילך המספרים היחידים ה"מדוייקים"

הם השברים העשרוניים הסופיים, או אולי אורכי הקטעים שאפשר לבנות באופן גיאומטרי, אז פאי אינו מספר "מדויק". אבל זו הסתכלות מאד מצומצמת על העולם.

 

[מני אה]

אין צורך להציג אותי כחריג. לאורך השנים להרבה

היה קשה לקבל "מספר" כפאי כמספר בכלל ויש נימוקים טובים. זה ברור מאליו להגיד שיש על ציר המספרים מספר שאתה לא יודע איפה הוא נמצא ב-דיוק. (ולהגיד בין לבין זה לא נחשב).
ובעבר היו בעיות לקבל שלילים, אפס ואפילו שברים. אבל עם אלה קל יותר.

 

[AnarchistPhilosopher]

מתמטיקה זה משחק...

אתה יכול להגדיר מה שבא לך כל עוד אתה לא סותר את עצמך.

 

[מני אה]

מישהו מכיר בסיס (כמו בניארי וכו) בו פאי יהיה

סופי? למשל בדקתי בהקסידסימלי וגם שם זה אין סופי. או שאולי צריך בסיס אחר בו פאי יהיה בסיס היחידה (שכחתי איך קוראים במתמטיקה ליחידה שהיא בסיסית)

 

[אורי769]

לא קיים

הייצוג של פאי יהיה אינסופי וחסר מחזוריות בכל בסיס ספירה.

טענה:
מספר a הוא רציונלי <===> קיים בסיס ספירה כך שהייצוג של a בו הוא סופי.


איך בדיוק תבנה בסיס ספירה pi? מה הן הספרות? 0,1,2,3 ו...

 

[מני אה]

אני לא מבין בזה אבל תאמר לי מה עם זה:

יהיו 2 ספרות: 1 (בא מהקוטר) ו פאי. ההיקף הוא המספר 1פאי. נראה לי שאי אפשר לעשות עם זה כלום. ואלה דיבורים בעלמא של הדיוט אבל אולי לך יהיה רעיון או תוכל להבהיר לי טוב יותר למה זו בעיה ואי אפשר לעשות עם זה כלום

 

[אורי769]

הגישה צריכה להיות הפוכה

מה שאתה אומר זה שאתה מציע משהו ואני צריך להסביר למה זה לא טוב. אני מציע גישה אחרת - אם אתה מציע משהו, אז תסביר אתה למה הוא כן טוב. הצעת לייצג את המספרים בעזרת 1 ו-π. זכותך. בא תגן על הגישה הזו ותסביר איך היא עובדת. לדוגמא, בשיטת הייצוג החדשה שלך, איך מציגים את 2,3,100 ואת שורש 2?

 

[מני אה]

אז מכיוון אחר

יש דבר כזה מתמטיקה של מספרים בינאריים? של 1 ו 0? אפשר לעשות גיאומטריה של זה? אם לא אז מיד אבין שההצעה שלי גרועה. אני פשוט לא יודע. אני לא מתמטיקאי, רק מתעניין

 

[1ca1]

מה ההגדרה שלך לגיאומטריה?

יש למשל מושג של אלגברה לינארית (מה זה ישר, מישור, מה זה היחסים ביניהם (=האם ישרים נחתכים, האם ישר נמצא במישור וכו')) מעל "מספר בינארי" (השם המתאים כאן הוא השדה בן 2 האיברים, ולא בדיוק "פיתוח בינארי").

הבעיה היא שלמרות שיש שם גיאומטריה, יש שם בעיה למדוד מרחקים.
אחת הדרכים הבסיסית למדוד שם מרחקים בין זוג נקודות הוא מה שנקרא מרחק המינג (hamming) שמשתמשים בו הרבה במחשבים.
זה אומר שהמרחק בין זוג נקודות (x,y) ו-(z,w) שווה למספר האותיות השונות שם.
כלומר אם z שונה מ-x ו-y שונה מ-w אז המרחק הוא 2.
אם רק אות אחת שונה, המרחק הוא 1. וכך הלאה.
במקרה כזה, המעגל שלך נראה מוזר ולא קשור לפאי.
מהם הנקודות במרחק 1 מהנקודה (0,0)?
אתה תקבל רק 2 נקודות, (0,1) ו-(1,0).

צריך להבין שפאי הוא מושג שקשור עמוק מאוד לעובדה שאתה עושה גיאומטריה על המישור הרגיל (עם הצירים x,y, והמרחק ניתן ע"י "משפט פיתגורס").

 

[מני אה]

חוסר מידה משותפת

הבעיה בבסיסה פה היא חוסר המידה המשותפת. לא ניתן לבטא את ההיקף ביחס לקוטר, בניסוח אחר: כמה פעמים יכנס הקוטר בהיקף. בהתחלה חשבתי שזה נובע מהעקמומיות של הקף (של ההיקף) שאין לנו יכולת לחשב אותו ואז נזכרתי ביתר של המשולש שהוא ישר וגם הוא עושה את הבעיה.
עכשיו אני לא מבין, למה - אפריורית - אי אפשר לחשב כמה פעמים יכנס הקטור ואיך יכול להיות שהתשובה היא מספר שיש בו אין סוף ספרות והוא לא מחזורי. יש תיאוריה שכל המספרים האי רציונאלים הם למעשה כן ורק צריך לבדוק את החוקיות "יותר לעומק". כי תראה, 1\3 אני יכול להבין למה זה לא נגמר, כי בעצם עושים את החילוק של 1 ב 3 שוב ושוב ושוב. אבל את הפאי אני לא יכול להסביר לעצמי או בהכללה: את חוסר המידה המשותפת אני לא יכול.
אתה יכול להסביר איך דבר כזה קורה? שאי אפשר לדעת כמה פעמים קו נכנס בקו אחר *בדיוק*?

עכשיו כשהסתכלתי שוב באנימציה שיש בויקפדיה הבנתי שגם אם הציר יהיה בנוי כך שהיחידה תהיה בנוי מפאי זה לא יעזור כי אומנם היקף אחד יהיה פאי אבל אז נדפוק את הקוטר והוא זה שיהיה וזה פשוט יהיה הפוך.
העניין עם אלגברה ליניארית גדול עליי. מה שכן, ראיתי בויקיפדיה על מרחק המיניג, ואני לא רואה למה שלא יהיה שם מעגל כמו שבנו שם קוביות וריבועים ו"המרחק" הוא שינוי של תו אחד בסידור/שרשרת (לא מכיר מדעי המחשב - לא יודע איך קוראים לזה). בכל אופן, לא לזה התכוונתי. הרבה פעמים מצאתי תשובות באינטרנט שפאי זה עניין של עשרוני, ובתצוגה אחרת זה יהיה סופי. אז רציתי לדעת אם אפשר לבנות בסיס שיתן משהו אחדותי יותר לעומת העשרוני. אגב, אם כבר הוזכרו מדעי המחשב, אפשר לעשות רדוקציה של כל נושא מתמטי לבסיס בינארי? הרי אם המחשב מבין רק 0 או 1 0 וגם הם ריקים מערך מבחינתו ורק מעידים על פעולה), אז הוא עושה מתמטיקה מבלי להזדקק ל 3, 4, 5 וכו' וקו ישר בטח מוגדר לו בצורה מסוימת, בצורה שיכולה להיות מורכבת אבל האותיות שלה הן 1 או 0, לא? את פאי לא נראה לי מהקצת שהבנתי על מרחק המיניג, אפשר להציג שם כי אין שם השוואה של אורך כהתפשטות במרחב אלא של שינוי ייצוגי (0001 רחוק מ 0011 ב 1 וכו)

 

[עעעערררר]

התיאוריה שלך שגויה

 

[ןן גיל ןן]

שום בסיס שלם לא יעבוד

כי כל מספר בעל ייצוג סופי בבסיס שלם הוא מספר רציונלי, ופאי אינו רציונלי.
מאותה סיבה, גם שום בסיס רציונלי לא יעבוד.

 

[kabeemulo]

בסיס שלם לא. אבל אפשר לקחת את π עצמו כבסיס.

 

[טלמון סילבר]

באות היוונית π

שהשם שלה (של האות היוונית) הוא פִּי, מסמנים מספר מסויים, קבוע ("מדויק" לחלוטין למרות שהוא אי-רציונלי ולא אלגבראי), שהוא היחס בין אורך המעגל - כל מעגל - לבין אורך הקוטר שלו.

לכן, אם ידוע קוטר המעגל, אז אורכו שווה בדיוק למכפלת אורך הקוטר במספר הקבוע הזה π (שקוראים לו ביוונית פִּי).

אציג לך שאלה הדומה בדיוק לשאלה שלך: האם יש דרך לחשב במדויק את אורך הקוטר של מעגל, אם ידוע אורך הרדיוס שלו, בלי להשתמש במספר 2 ובלי להשתמש בפעולת החיבור?

 

[מני אה]

אני לא מנסה להיות פרקטי

אי אפשר לתפוס מספר כזה. אני לא יכול לתפוס מספר שאני לא יודע איפה הוא נמצא. כך גם לגבי i . זה לגיטימי לעשות הפשטות והכללות של מושג המספר, אבל *לי* מפריע שפה דווקא מדובר על משהו שלפחות לכאורה הוא לא "תיאורטי" (אין לי שם אחר טוב יותר בינתיים), ושאמור להיות כזה שייתן תשובה שאפשר לתפוס אותה. כך שכשאני מנסה להבין כמה פעמים הקוטר נכנס בהיקף אני מנסה לדמיין את הקוטר מתעקם על ההיקף למשל, וכמה אחוז מהפעם הרביעית שלו נכנס עד שנפגש שוב עם ההתחלה של הפעם הראשונה שלו.
לקרוא למשהו בשם אחר לא פותר את הבעיה שלי, גם אם מאפשר למתמטיקאים לבצע פעולות. למעשה הם משתמשים בזה כפאי בהעדר יכולת לומר מהו בדיוק [כי אם היה היחס בין קוטר להיקף בדיוק 8.7 אז היו קוראים לזה....8.7!].
קודם הייתה חוסר יכולת בגלל חוסר מידה משותפת ואחר כך שימוש ב'פאי'.

 

[טלמון סילבר]

אתה צודק

המונח "מספר אי-רציונלי" הוא באמת קשה לתפיסה.

למשל שורש ריבועי של שניים. מצד אחד אי אפשר לבטא אותו כ"שֶבֶר" (יחס בין שני מספרים שלמים), אבל מצד שני "יודעים בדיוק איפה הוא נמצא" על ציר המספרים, באמצעות בנייה הנדסית פשוטה עם סרגל ומחוגה.

כנ"ל גם המספר הקבוע פִּי, למרות שאי-אפשר לבטא אותו כשבר עשרוני מחזורי, יודעים בדיוק היכן הוא נמצא. קח מעגל בקוטר = 1 (תיאורטית), והנה לך היקף שלו באורך π בדיוק!

אני חוזר שוב: מונח המספר האי-רציונלי באמת לא כל כך פשוט להבנה, ובזאת אתה צודק בהחלט. אני מזכיר: מספר רציונלי הוא מספר שניתן להציגו כיחס בין שני מספרים שלמים, או כשבר עשרוני מחזורי. שתי ההגדרות שקולות. דוגמה למספר רציונלי - 8.7:

87/10 :תצוגה כיחס בין שני מספרים שלמים
8.7000... :תצוגה כשבר עשרוני מחזורי
8.6999... :אפשר גם ככה


אחת השיטות להגדרת מספרים אי-רציונליים, כאלה שאנו יודעים בדיוק "איפה הם", למרות שאינם רציונליים, נקראת "חתכי דדקינד", והיא חורגת מתחום תכנית הלימודים התיכוניים. הרעיון, באופן כללי, מבלי להיכנס לפרטים, הוא כזה: ניקח את ציר המספרים, נסמן עליו את כל המספרים הרציונליים. את כולם בלי יוצא מן הכלל!

מתברר, שיישארו על ציר המספרים הרבה מאוד חורים! למשל, אף נקודה מאלו שסימנו לא תכסה את שורש ריבועי של 2, ולא את המספר π. (אני יכול לגלות לך בסוד, שמבחינה מסוימת כמות החורים אפילו יותר גדולה מכמות הנקודות שסימנו! שתי הכמויות הן "אינסוף", אבל "האינסוף" של החורים הוא - מבחינה מסוימת - "יותר גדול" מהאינסוף של הנקודות הרציונליות)

ובכן, באופן גס, המספרים האי-רציונליים מוגדרים כ...חורים שנותרו על ציר המספרים אחרי שסימנו עליו את כל המספרים הרציונליים

לסיכום: כאשר המתימטיקאים אומרים פִּי (או מסרסים ואומרים "פאי"), הם יודעים בדיוק למה הכוונה, עם או בלי "הפילוסופיה" (אשר באמת לא פשוטה) על עצם מהותם של מספרים אי-רציונליים. בדומה לתלמידי תיכון, ש"מסכימים" עם קיומו של מספר קבוע "שורש ריבועי של 2" גם בלי ה"פילוסופיה".

 

[מני אה]

לא בדיוק

אתה ממש לא יכול לדעת איפה פאי/פי (אחרי שהיית בפורום בלשנות עוד לא קיבלת על עצמך שרק ההרגל וההבנה המשותפת קובעים איך נבטא מילה?

) נמצא בדיוק על ציר, ולהגיד שזה עם סרגל ומחוגה זה די מגוחך. כמו שכתבתי לפלטוניסט לפני, אם תרצה לדעת איפה שליש נמצא, תוכל לקחת חתיכת נייר אידיאלית ולקפלה פעמיים כך שהסימנים (האידיאליים) שיווצרו יהיו בדיוק 0.3333.... ו 0.6666..... בסרגל אתה לא יכול לדעת איפה זה וגם מחשב שתתן לו הגדרה (חייב שרירותית) על המרחק בין 0 ל 1 ותגיד לו עכשיו תסמן לי איפה שליש לא יוכל לעשות את זה רק לפי המרחק בין 0 ל 1. תוכל בעזרת קיפולים לדעת איפה 1/2 ו 1/9 (לקפל 8 פעמים). אבל לא תוכל להגיע לפאי בשיטה זו.
נכון שהיקף של מעגל שקוטרו יחידה אחת (שרירותית) יהיה פאי*1 אבל לא עונה למה שאני מכוון אליו. אני בא מכיוון אחר, אולי כמו זינו (מהפרדוקסים). הפאי כשרוצים אותו תפיס בהכרה, כשרוצים לכמת אותו כדי לדעת אותו - חומק

 

[טלמון סילבר]

אתה שוב צודק - זה אכן "לא בדיוק",

כי אני משתדל לכתוב "בצורה פשוטה", בלי הדיוק הלקוני של בּוּרְבָּקִי

בנוגע לבלשנות אתה צודק, אבל "לא בדיוק". אם היית שם לב, המומחים מפורום בלשנות לעולם לא יכתבו בעצמם "חמש שקל" או "אני יגיד", למרות שהם כאילו תומכים בשפה המדוברת. אז למה אני טוען שטענה זו "אינה מדויקת"? מהסיבה הפשוטה, שאיננו מדברים בצורה אחידה. יש האומרים "חמש שקל" וגם "אני יגיד", אבל ישנם גם האומרים "חמישה שקלים" וגם "אני אגיד" ואפילו "אני אֹמַר". אני מסכים אתך שכיום רבים בארץ נוטים לסרס את השם של אות יוונית, וזאת רק בגלל חיקוי עלוב של ההגייה באנגלית, מתוך הרגל להיראות יותר אמריקאים מהאמריקאים, אבל רק שתדע, שמתמטיקאים אנגליים אמיתיים אינם מפגינים זלזול כזה באלפבית היווני, ומבטאים את השם של האות היוונית כמו שהחליטו היוונים עצמם. מה היית אומר, אם מישהו היה אומר "האות העברית אֵילִיף"?

זו בחירה שלך לומר "אני יגיד" ו"פאי", כמו כל העדר, וזו בחירה שלי להשתדל לומר ולכתוב כמו שצריך. אני מכיר מישהו היודע היטב עברית תקנית, אבל אומר בכוונה "חמש מחשבים". זו הבחירה שלו.

מה שאני עוד מציע לך, זה לא למהר ולכנות "מגוחך" את מה שלא הבנתָ. בנוגע ל"סרגל ומחוגה" התכוונתי לבנייה תיאורטית של ריבוע שצלעו שווה 1, בעקבותיה נבנה קטע באורך אי-רציונלי - האלכסון של אותו ריבוע.

כנ"ל, אין בעייה לחלק קטע נתון לשלושה חלקים שווים באמצעות סרגל ומחוגה. אולי אתה לא כל כך בעניינים בקטע הזה של "בנייה באמצעות סרגל ומחוגה"? למשל, אתה יודע איך מוצאים עם סרגל ומחוגה את האמצע של קטע כלשהו?

"כשרוצים לכמת אותו" - זה שורש אי-הבנתך, וכבר כתבתי לך שאתה צודק, הבנת מספרים אי-רציונליים אינה עניין של מה בכך, בעיקר כאשר לא מנסים להבין את מה שכותבים לך

בוא נלך על הגדרת מספר רציונלי כשבר עשרוני מחזורי. כפי שהבנתי, אתה "מקבל" את המספר

3.333...

(שלוש ושליש), למרות שהוא כתוב כשבר עשרוני אינסופי! כלומר, אתה מקבל את העניין שאינסוף פעולות של הוספת שלוש עשיריות מקטעים הולכים וקטנים (כל קטע הוא עשירית מקודמו) מביאות "בסופו של דבר" למספר מדויק מסוים?

ניקח שבר "יותר מסובך":

3.141414...

בו אנו בעצם לוקחים מהקטעים ההולכים וקטנים עשירית אחת וארבע עשיריות לסירוגין. מכיוון שהשבר מחזורי, אנו מקבלים גם הפעם מספר רציונלי, את ה"שבר הרגיל" שלוש ו-14/99, שמן הסתם גם אותו אתה "מוכן לקלוט". שים לב: בשני המקרים אתה למעשה "מקבל" תצוגה של מספר באמצעות אינסוף פעולות, ומבחינתך שני המספרים "מכומתים" לחלוטין. כך?

עכשיו תאר לעצמך, שהשבר העשרוני אינו מחזורי, ובכל זאת ידועה לנו החוקיות של הוספות הספרות הבאות. אז מה בעצם השתנה? במה המספר הזה "פחות מכומת" מקודמיו?